2018年 東京都立高校入試の数学。
大問3、グラフの問題です。ここでは[問2②]を解いていきます。
問2②は、最終的にはグラフの座標を求める問題です。
まずは、「"だいたい"どのあたりに各点がくるか」を図に書き入れてみましょう。
こんな感じになるのではないでしょうか? 本当にざっくりしたものでもいいので「"だいたい"どのあたりに各点がくるか」を見ておくのは大事です。
これをやっておくと、この後点Pを求めた結果、座標が負になったら「あれ? おかしいな?」と気づくことができます。
さて、点Pの座標を求めていきましょう。
基本は「座標がわからない点の座標を文字で置く」ことです。
ここでは点Pの座標をpと置いてみましょう。
すると、このような感じになります。
Q、M、Pのそれぞれの座標は、以下のようにして求めました。
(点P)
放物線上の点ですね。放物線
の式は
なので、これの
に
を代入して、
という
座標を得ます。
(点Q)
線分AB上の点ですね。線分ABの式は なので(前の問題で求めましたね)、これの
に
を代入して、
という
座標を得ます。
(点Q)
線分PQ上の中点です。
中点の座標は、座標も
座標も「足して2で割る」ことで求めます。つまり、点Pの
座標である
と、点Qの
座標である
を足して2で割ればいいんです。よって、
となります。
さて、「直線BMが原点Oを通る」ということは、「点B、点M、点Oが一直線上にある」つまり「直線OBの上に点Mがある」ということが言えればいいんです。
「3点が一直線上にある」場合はよく出会うと思いますが、上のように考えるといい方向に行くことが多いですよ。
ですから、まず直線OBの式を求めてみると、。
これの上に、P(,
) を代入すると、
両辺を4倍して、
ただし、は6より小さい、つまり6は含まないので、
よって点Pの座標は(4, 8)となります。
(座標は、
に
を代入すると求められますね)
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座標を求める問題の基本が詰まった問題です。
来年度以降も似たような問題が出題される可能性は大きいですね。